Первое, что нужно сделать при переносе сайта с одного хостинга на другой – перенести файлы. Лучше первоначально скопировать к себе на диск и хранить, чтобы копия не затерялась, заодно дома будет лежать свой бекап.
Другими словами – нужно создать бекап и восстановить его, только на другой хостинг. Далее – необходимо учесть некоторые мелочи. У вас наверняка изменятся конфигурационные файлы коннекта к базам данных, почте. Да и названия баз данные тоже наверняка изменятся. Хостинги любят называть базы данных, начинающиеся с названия логина учетной записи.
Далее – если в процессе работы – скрипты ссылались на внешние библиотеки, которые из соображений безопасности вы разместили где-то во вне – перенесите их тоже и убедитесь, что пути работают.
Если версии PHP отличаются – обратите внимание на разницу в версиях PHP. Из-за них в ряде случаев могут возникнуть ошибки.
Обратите внимание на настройки конфигурации в PHP. Объем памяти, волшебные кавычки, максимальный размер загружаемых файлов. Убедитесь, что они настроены точно также, или что другие настройки не отражаются на работе системы. Подробнее об этом - здесь